טרום אלגברה – מספרים אי-רציונליים
לאחר שבסרטונים הקודמים הכרנו את פעולת השורש, נראה בסרטון הזה איך פעולת השורש גרמה למתמטיקאים להבין שישנם מספרים שאי אפשר לייצג על ידי המספרים הרציונליים.
צפה בסרטון
למה הכוונה במשפט "המספרים הרציונליים סגורים תחת ארבע פעולות החשבון"? בחרו בתשובה הנכונה.
אפשר להפעיל על הרציונליים רק ארבע פעולות חשבון.
כל הכבוד! תשובה נכונה חלקית תשובה נכונה תשובה לא נכונה
ארבע פעולות החשבון הן פתוחות.
כל הכבוד! תשובה נכונה חלקית תשובה נכונה תשובה לא נכונה
המספרים הרציונליים הם תחום סגור.
כל הכבוד! תשובה נכונה חלקית תשובה נכונה תשובה לא נכונה
ארבע פעולות החשבון נמצאות גבוה יותר מהרציונליים.
כל הכבוד! תשובה נכונה חלקית תשובה נכונה תשובה לא נכונה
הרציונליים אינם סגורים תחת שלוש או פחות מפעולות החשבון.
כל הכבוד! תשובה נכונה חלקית תשובה נכונה תשובה לא נכונה
התוצאה של כל אחת מארבע הפעולות גם היא רציונלית.
כל הכבוד! תשובה נכונה חלקית תשובה נכונה תשובה לא נכונה
מהי התגלית הלא נעימה המיוצגת על ידי הביטוי $"?^{2}=2"$ בחרו בתשובות הנכונות.
יש משוואות מרכזיות במתמטיקה.
כל הכבוד! תשובה נכונה חלקית תשובה נכונה תשובה לא נכונה
יש משוואות שאי אפשר לפתור בעזרת מספרים רציונליים.
כל הכבוד! תשובה נכונה חלקית תשובה נכונה תשובה לא נכונה
יש משוואות שאפשר לכתוב בעזרת סימני שאלה.
כל הכבוד! תשובה נכונה חלקית תשובה נכונה תשובה לא נכונה
יש מספרים ששווים בערכם לסימן שאלה.
כל הכבוד! תשובה נכונה חלקית תשובה נכונה תשובה לא נכונה
גם אם מכפלה היא רציונלית, הגורמים אינם בהכרח רציונליים.
כל הכבוד! תשובה נכונה חלקית תשובה נכונה תשובה לא נכונה
אם מעלים מספר x בחזקת n ומקבלים n, אז x לא רציונלי.
כל הכבוד! תשובה נכונה חלקית תשובה נכונה תשובה לא נכונה
המספרים האי-רציונליים נקראים כך משום שאי אפשר להביעם בתור יחס (Ratio) בין שני מספרים שלמים (או בין שני גדלים שלמים בעלי אותה יחידת מידה). המשמעות האחרת של המילה "רציונלי", במובן של "הגיוני", אינה קשורה למספרים חביבים אלו, והיא תוצאה של תרגום לקוי מיוונית ללטינית של המילה "אלוגוס" (ἄλογος): המילה תורגמה ללטינית "irrationalis", שמשמשת הן במובן יחס והן במובן היגיון.
צורת ההוכחה שבה נעשה שימוש כאן נקראת "הוכחה בדרך השלילה" (Reductio Ad Absurdum). בשיטה זו מניחים שהטענה שרוצים להוכיח אינה נכונה, ובודקים בזהירות, שלב אחר שלב, מה נובע ממנה. במילים אחרות, אומרים "נזרום עם ההנחה ששורש 2 הוא רציונלי" עד שמגיעים לתוצאה שאנו יודעים בוודאות שהיא שגויה.צורת הוכחה זו נשענת על "כלל השלישי הנמנע", ניסוח בעיה מסוימת כך שתהיינה בדיוק שתי אפשרויות (מספר הוא רציונלי או לא רציונלי – אין אפשרות נוספת), ואז אם נפסול אחת מהן ניוותר בהכרח עם האפשרות האחרת.קיימת הצדקות נוספות לקיומם של מספרים אי-רציונליים – למשל הצדקה גיאומטרית (ראו בכתבה באתר מכון דוידסון: http://bit.ly/2misudb) והצדקה מוזיקלית (ראו בסרטון: http://bit.ly/2mlPYhy).
כיצד אפשר לדעת ששורש 2 אינו מספר שלם?
על מנת להוכיח זאת, נסו לרשום את המספרים השלמים בתחום שבין 5, 5- ואת הריבועים שלהם ולזהות מהו הדפוס המתקבל.
אפשר להסביר את רעיון ההוכחה בדרך נוספת.
נניח בשלילה כי שורש 2 הוא רציונלי, לכן ניתן להביעו בתור שבר מצומצם $frac{p}{q}=sqrt{2}$. נעלה בריבוע כל אחד מהאגפים, נסדר ונקבל $p^{2}=2q^{2}$. לכן $p^{2}$ הוא מספר זוגי. מכאן אפשר להסיק כי p זוגי (כי אילו היה אי-זוגי, אז $p^{2}$ היה גם אי-זוגי), לכן קיים מספר שלם m שעבורו p=2m. נציב זאת במשוואה ונקבל:
$(2m)^{2}=2q^{2} Rightarrow 4m^{2}=2q^{2} Rightarrow$
$2m^{2}=q^{2}$
כלומר גם $q^{2}$ הוא זוגי, ולכן גם q הוא זוגי.
סה"כ קיבלנו כי p,q שניהם זוגיים, בסתירה להנחה שהשבר $frac{p}{q}$ מצומצם. לכן שורש 2 אינו רציונלי.
לפי שיטת ההוכחה הזו, נראה שאפשר להוכיח גם כי $sqrt{4}$ אינו רציונלי. נסו לבדוק באיזה שלב נכשלת ההוכחה ש-2 אינו רציונלי.
התאימו בין המספר לבין תיאורו כמספר עשרוני.
מספרים אי-רציונליים ‒ סרטון אינטראקטיבי
הפעל סרטוןעל הפעילות
בסרטון זה התלמידים ילמדו על קבוצת המספרים האי-רציונליים ועל ההבדלים בינה לבין קבוצות מספרים אחרות. הם יראו שניתן להוכיח טענות מתמטיות לגבי מספרים ולא רק בגיאומטריה, ויכירו שיטות הוכחה שונות. השאלות דורשות יישום של ידע קודם לגבי שורשים וחזקות ולגבי קבוצות המספרים. הסרטון מכיל גם העשרה לגבי תורת המספרים. משך הסרטון האינטראקטיבי הוא כ-20 דקות, אם מבקשים מהתלמידים להשיב על כל השאלות הפתוחות.
קבוצות מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים), שורש ריבועי, שורש מעוקב, פיתוח עשרוני סופי/אינסופי של מספר, שבר מחזורי
תכנים נוספים שעשויים לעניין אותך
חומרים דוחי יתושים
בסרטון זה נלמד מדוע יתושים עוקצים? למה צריך להתגונן מפני עקיצות יתוש, ומה ניתן לעשות כדי להתמודד נגדם?
דניאל שואל – אילו חיות בר גרות בעיר?
דניאל לוקח אותנו לטיול עירוני וחוקר אילו חיות בר מסתתרות לנו בין הבתים והעצים. הסרטון עונה על שאלות שונות ובין היתר מה הן חיות בר, ומהן הסיבות שאולי כדאי לא להאכיל אותן בסביבה עירונית.