העז שמסתתרת מאחורי הווילון

כשאנחנו חושבים על מתמטיקאים מקצועיים, אנחנו נוטים לדמיין אותם כאנשים רציניים ששקועים בכתיבת הוכחות אינסופיות באורכן, עם חריקות גיר על לוח, פרקי זמן ארוכים של בהייה בתקרה ומדפים עמוסי ספרים עבי כרס. התיאור הזה אינו מופרך כלל. ובכל זאת, לפעמים מתמטיקאים, ועמיתיהם הסטטיסטיקאים, מיטיבים לנסח בעיות מפתיעות עם צד משעשע. אחת הבעיות האלה מכונה בעיית מונטי הול, שכבר משמה הלא קונבנציונלי אפשר כנראה ללמוד דבר או שניים על ייחודה.

מונטה הלפרין נולד לפני 104 שנה בוויניפג שבקנדה למשפחה יהודית. הוא למד כימיה וזואולוגיה באוניברסיטת מניטובה, אבל לא עסק בתחומים האלה אפילו יום אחד אחרי תום לימודיו. אהבתו לתיאטרון ולמשחק הובילה אותו לעסקי הבידור ובשנות ה-50 הוא עבר דרומה לארצות הברית. תחת שם הבמה מונטי הול הוא הפך למנחה מצליח ופופולרי במיוחד של שעשועוני טלוויזיה מבדרים. אחד הלהיטים הגדולים שלו היה השעשועון “עשינו עסק” (Let’s Make a Deal) שכיכב על מסכי הטלוויזיה האמריקאית בשנות ה-60 וה-70.

השעשועון התבסס על פרסים יקרי ערך, כמו מכשירי חשמל למטבח, מערכת ריהוט לסלון הביתי או גולת הכותרת: מכונית. כדי לקחת את הפרס היו המתחרים צריכים לעשות את העסקה הנכונה עם המנחה. בעסקאות המשמעותיות יותר נדרשו המשתתפים לבחור בין שלוש דלתות, או וילונות, שמאחוריהם הסתתר פרס גדול, או לחלופין פריטים פחותי ערך ומגוחכים כמו דחליל, ראש מפוחלץ של אייל, מגבת גדולה לניגוב הדמעות ואפילו חיות משק כמו למה או עז.

באיזו דלת לבחור?

ב-1975, כשהתוכנית הייתה בשיא תהילתה, פרסם הסטטיסטיקאי סטיב סלבין (Selvin) מאוניברסיטת קליפורניה בברקלי מאמר בכתב העת The American Statistician, תחת הכותרת היבשה “בעיה בהסתברות”. מאחורי החזות הלא אטרקטיבית הזאת הסתתרה חידה עם כוכב בלתי מעורער, הלא הוא מונטי הול.

סלבין הציג לקוראיו את הבעיה הבאה: בשעשועון של מונטי הול יש שלוש דלתות, שמאחורי אחת מהן מסתתרת מכונית ומאחורי שתי האחרות – עיזים. מונטי הול יודע היכן נמצאת המכונית והיכן העיזים, ומבקש מכם לבחור באחת הדלתות. אתם מהמרים על אחת הדלתות, ובתגובה המנחה הכריזמטי פותח אחת משתי הדלתות האחרות וחושף את האמת המרה – מאחוריה יש עז. כעת מונטי פונה אליכם ומציע לכם הזדמנות לשנות את בחירתכם ולהמר על הדלת הסגורה השנייה. הדילמה קשה – האם תיצמדו לבחירה המקורית שלכם או תשנו אותה?

במבט ראשון הבחירה נראית כמו הימור פרוע בין שתי אפשרויות זהות. האינטואיציה שלנו אומרת שלכל אחת משתי הדלתות הנותרות – זו שבחרנו בה בתחילה וזו שלא – יש סיכוי של אחת לשתיים להיות דלת הפרס. אבל אם זאת הייתה התשובה, המאמר של סלבין לא היה מעניין. הפתרון ההסתברותי האמיתי קובע שכדאי למתחרה לשנות את בחירתו. מדוע?

חידה אחת, פתרונות רבים

יש כמה דרכים להסביר את הבחירה ההסתברותית הנכונה. אחד מהם הציעה בשנת 1990 בעלת הטור מרילין ווס סוואנט (vos Savant), שהתפרסמה בזמנו כבעלת מנת המשכל הגבוהה בעולם. הפתרון שלה, שנגיע אליו עוד מעט, קומם עליה מתמטיקאים רבים. גם התשובה של סלבין בשעתו לא הלהיבה את עמיתיו. ממש השנה פרסם האפידמיולוג הבריטי אדם קוצ’רסקי (Kucharsky), שמתמחה בהנגשת מדע ומתמטיקה, טור בבלוג שלו שבו הציע ארבע דרכים שונות להגיע לפתרון ההסתברותי הנכון. ואם ארבע דרכים שונות לא ישכנעו את המתמטיקאים, מה עוד נשאר לעשות?

הדרך הראשונה והישירה ביותר היא הוכחה על ידי התשה. בדרך הזאת פשוט בודקים את כל הבחירות האפשריות בזו אחר זו, כפי שמפורט בטבלה הבאה:

 מהטבלה ברור: בשישה מצבים אפשריים מתוך תשעה, כלומר שני שלישים, שינוי הבחירה המקורית יוביל לזכייה, ורק בשלושת המצבים הנותרים, כלומר שליש, שינוי ההחלטה יוביל להפסד. בשלושת המקרים שבהם הבחירה הראשונה שלכם היא אכן הדלת הנכונה, לא משנה איזו דלת מונטי יבחר לפתוח, כי מאחורי שתיהן מחכות לכם עיזים. אחרי שיפתח את הדלת, תישאר לכם אותה ברירה – לדבוק בהחלטה המקורית שלכם ולזכות במכונית, או לשנות אותה ולהיתקע עם עז. 

דרך ההוכחה השנייה מיועדת למי שמנוסים בשימוש בהדמיות ממוחשבות ובסטטיסטיקה. היא מורכבת מארבעה שלבים. ראשית הציבו את המכונית באקראי מאחורי אחת משלוש הדלתות; שנית, בחרו באקראי דלת; בשלב השלישי הניחו למונטי – בגילומו של המחשב – לחשוף את העז; לבסוף, בחרו שוב – פעם אחת בחרו להישאר באותה דלת ופעם אחת בחרו לעבור לדלת השנייה. כעת בידקו את התוצאה, האם זכיתם או הפסדתם? חיזרו על כך שוב ושוב, ובסיום שרטטו גרף של אחוז הניצחונות המצטבר מתוך כלל הניסיונות בשני המקרים – כשנצמדתם לבחירה המקורית שלכם וכששיניתם אותה.

קוצ’רסקי הציג גרף שהתחיל בניסיון אחד והסתיים באלף. לצורך הכתבה הגדלתי לעשות ובדקתי את סיכויי הזכייה שלי במשך עשרת אלפים ניסיונות. בפועל די היה בעשרים ניסיונות כדי לגלות שאסטרטגיית ההחלפה היא העדיפה מבין השתיים, והגרף מתייצב בסופו של דבר על היחס של שני שליש זכיות במקרה של החלפת הדלת, לעומת שליש אם אבחר באסטרטגיית ההישארות.

דרך ההוכחה השלישית שהציג קוצ’רסקי היא זו שבחרה גם סוואנט: הוכחה בדרך ההגזמה. תארו לעצמכם שבמשחק של מונטי הול יש מאה דלתות ולא רק שלוש. אחרי הבחירה הראשונה שלכם, מונטי יפתח את כל הדלתות שאין מאחוריהן מכונית, פרט לדלת שבחרתם ודלת אחת נוספת. הסיכוי שהדלת שבחרתם בה בתחילה היא דלת הפרס, היה ונותר אחד למאה. הסיכוי שהדלת השנייה היא דלת הפרס חייב להשלים את ההסתברות ל-1, כך שהוא עומד על 99/100. זה נשמע מפתיע, עד שמבינים שיש פער עמוק בין מונטי הול למתחרים בשעשועון. אתם, כמתחרים, קיבלתם את ההחלטה הראשונה שלכם באקראי, בשעה שהפעולה של מונטי מבוססת על ידע – הוא יודע בוודאות שמאחורי 98 הדלתות שהוא פתח חיכה עדר גדול של עיזים. אותו עיקרון פועל גם במשחק של שלוש דלתות, אבל הרבה יותר קשה להבחין בו.

הדרך הרביעית, שנראית לכאורה הכי פחות משכנעת, היא דרך הקיבוץ, כלומר קיבוץ של אפשרויות דומות יחד. נניח שיש שתי אופציות במשחק: כל מה שבחרתם בו, וכל מה שלא בחרתם בו. ודאי תסכימו שלדלת שבה בחרתם בתחילה יש סיכוי של שליש להיות דלת הפרס. שתי הדלתות האחרות מציגות יחד סיכוי של שני שלישים לזכייה. כשמונטי חושף את העז, הוא פשוט מגלה לכם היכן המכונית לא נמצאת בקבוצת “הדלתות האחרות”. כך שעדיין יש הסתברות של שני שלישים שהמכונית נמצאת בקבוצת “הדלתות האחרות”, אבל נותרה רק דלת אחת לפתוח.

חידת מונטי הול רחוקה מלהיות האתגר הכי מסובך במתמטיקה או בהסתברות, אבל היא חושפת תבניות חשיבה ואינטואיציה שאינן מתיישבות תמיד עם המציאות. ולמי שמבין את הפתרון לאשורו היא מציבה אתגר דידקטי – איך להסביר את הפתרון לאחרים.

לקינוח, הנה לכם שיר קצר שכתבתי על החידה.