الماعز المختبئ خلف الستار

عندما نُفكّر في علماء الرياضيات المحترفين، نميل إلى تخيّلهم أشخاصًا جادّين مُنغمسين في كتابة براهين لا حصر لها، مع كتابات طبشوريّة على اللوح، تحديق طويل في السقف، ورفو ف مليئة بالكتب السميكة. هذا الوصف ليس مُبالغًا فيه إطلاقًا. مع ذلك، أحيانًا ما يجيد علماء الرياضيات، وزملاؤهم الإحصائيّون، صياغة مسائل مُفاجئة ذات جانب مُسلٍّ. إحدى هذه المسائل تُسمَّى مسألة مونتي هول، ومن اسمها غير التقليديّ وحده يُمكن، على الأرجح، معرفة شيء أو اثنين عن تفرّدها.

وُلد مونتي هالبرين قبل 104 أعوام في وينيبيغ، كندا، لعائلة يهوديّة. درس الكيمياء وعلم الحيوان في جامعة مانيتوبا، لكنّه لم يعمل في هذين المجالين ولو ليوم واحد بعد تخرّجه. قاده حبّه للمسرح والتمثيل إلى مجال الترفيه، وفي خمسينيّات القرن الماضي، انتقل جنوبًا إلى الولايات المتّحدة. تحت اسم مونتي هول، أصبح مقدِّمًا ناجحًا ومشهورًا للمسابقات التلفزيونيّة الترفيهيّة. من أنجح أعماله برنامج المسابقات “دعونا نعقد صفقة” (Let’s Make a Deal)، والّذي عرضَه التلفزيون الأمريكيّ في ستينيّات وسبعينيّات القرن الماضي.

استند برنامج المسابقات على تقديم جوائز قيّمة، مثل أجهزة كهربائيّة للمطبخ، أو طقم أثاث لغرفة المعيشة، أو، أبرزها، سيّارة. للفوز بالجائزة، كان على المتسابقين إبرام صفقة رابحة مع المُضيف. في الصفقات الكبرى، طُلب من المشاركين الاختيار بين ثلاثة أبواب، أو ستائر، تُخبَّأ خلفها جائزة كبيرة، أو عناصر أقلّ قيمة وسخيفة، مثل فزّاعة، رأس غزال محشوّ، منشفة كبيرة لمسح الدموع، بل وحتّى حيوانات مزرعة كاللاما أو الماعز.

أيّ الأبواب نختار؟

في عام 1975، عندما كان البرنامج في ذروة شهرته، نشر عالم الإحصاء ستيف سيلفين (Selvin) من جامعة كاليفورنيا في بيركلي مقالًا في مجلّة The American Statistic، تحت العنوان الباهت “مشكلة في الاحتمال”. وراء هذا المظهر غير الجذّاب، اختبأ لغز مع نجم بلا منازع، وليس مونتي هول.

عرض سيلفين المشكلة التالية على القرّاء: في المسابقات التلفزيونيّة لمونتي هول هناك ثلاثة أبواب، تختبئ خلف واحد منها سيّارة وخلف الاثنين الآخرَين- ماعز. يعرف مونتي هول مكان السيّارة ومكان الماعز، ويطلب منكم اختيار أحد الأبواب. أنتم تراهنون على أحد الأبواب، وكردّ فعل يقوم المُضيف ذو الكاريزما بفتح أحد الأبواب الأخرى ويكشف عن الحقيقة المُرّة- خلفه يوجد ماعز. الآن يقوم مونتي بالتوجّه إليكم ويقترح عليكم فرصة تغيير اختياركم والمجازفة على الباب الثاني المغلق. المعضلة صعبة- هل ستتمسّكون باختياركم الأصليّ أو تقومون بتغييره؟

للوهلة الأولى، يبدو الاختيار رهانًا عشوائيًّا بين خيارين متطابقين. يُخبرنا حدسنا أنّ كلًّا من البابين الآخرَين- الّذي اخترناه في البداية والّذي لم نختره- لديه فرصة واحدة من اثنتين ليكون الباب الّذي تختبئ الجائزة خلفه. ولكن لو كانت هذه هي الإجابة، لما كانت مقالة سليفين مثيرة للاهتمام. ينصّ الحلّ الاحتماليّ الحقيقيّ على أنّ على المتسابق تغيير اختياره. لماذا؟

لغز واحد، حلول متعدّدة

هناك عدّة طرق لتفسير الاختيار الاحتماليّ الصحيح. إحدى هذه الطرق اقترحتها الكاتبة مارلين فوس سافانت (vos Savant) عام ١٩٩٠، والّتي كانت تُعرف آنذاك بامتلاكها أعلى معدّل ذكاء في العالم. أثار حلّها، والّذي سنتناوله لاحقًا، غضب العديد من علماء الرياضيّات. كما أنّه لم يُثر إجابة سليفين آنذاك حماس زملائه. في هذا العام تحديدًا، نشر عالم الأوبئة البريطانيّ آدم كوتشارسكي (Kucharsky)، والمتخصّص في تسهيل الوصول إلى العلوم والرياضيّات، مقالًا على مدوّنته اقترح فيه أربع طرق مختلفة للوصول إلى الحلّ الاحتماليّ الصحيح. وإذا لم تُقنع هذه الطرق الأربع علماء الرياضيّات، فماذا عسانا أن نفعل؟

الطريقة الأولى والأكثر مباشرة هي الإثبات بالاستنفاذ. بهذه الطريقة، نستطيع ببساطة التحقّق من جميع الخيارات الممكنة واحدًا تلو الآخر، كما هو موضّح في الجدول التالي:

يوضّح الجدول أنّه في ستّة من أصل تسعة احتمالات، أي في ثلثَيها، سيؤدّي تغيير الاختيار الأصليّ إلى الفوز، وفي الحالات الثلاث المتبقية فقط، أي في ثلثها، سيؤدّي تغيير القرار إلى الخسارة. في الحالات الثلاث الّتي يكون فيها الاختيار الأوّل هو الباب الصحيح بالفعل، لا يهمّ أي باب يختار مونتي فتحه، لأنّ خلف كليهما ينتظركم الماعز. بعد أن يُفتح الباب، سيتبقّى لكم الخيار نفسه- إمّا التمسّك بقراركم الأصليّ والفوز بالسيّارة، أو تغييره والبقاء مع الماعز.

الطريقة الثانية للإثبات مُخصّصة لمن لديهم خبرة في استخدام المحاكاة الحاسوبيّة والإحصاء. تتكوّن من أربع خطوات. أوّلًا، ضعوا السيّارة عشوائيًّا خلف أحد الأبواب الثلاثة؛ ثانيًا، اختاروا بابًا بصورة عشوائيّة؛ ثالثًا، دعوا مونتي- الذي يقوم الحاسوب بدوره- يكشف عن الماعز؛ وأخيرًا، اختاروا مرّة أخرى- مرّةً اختاروا البقاء في نفس الباب، ومرّةً اختاروا الانتقال إلى الباب الآخر. والآن، تحقّقوا من النتيجة: هل فزتم أم خسرتم؟ كرِّروا هذه العمليّة مرارًا وتكرارًا، وفي النهاية ارسموا رسمًا بيانيًّا للنسبة المئويّة التراكميّة للفوز من جميع المحاولات في كلتا الحالتَين- عند التزامكم باختياركم الأصليّ وعند تغييره.

قدّم كوتشارسكي رسمًا بيانيًّا، بدأ بمحاولة واحدة وانتهى بألف محاولة. ولأغراض هذه المقالة، كثّفتُ فرصي في الفوز بأكثر من عشرة آلاف محاولة. عمليًّا، كانت عشرون محاولة كافية لاكتشاف أنّ استراتيجيّة التبديل هي الأفضل، واستقرّ الرسم البيانيّ في النهاية على نسبة فوز ثلثَيْن في حالة تبديل الباب، مقارنةً بنسبة الثلث في حالة اختيار استراتيجيّة البقاء.

الطريقة الثالثة للإثبات والّتي قدّمها كوتشارسكي هي الّتي اختارتها سافانت أيضًا: الإثبات بالمبالغة. تخيّلوا أنّه في لعبة مونتي هول يوجد مئة باب، وليس ثلاثة فقط. بعد اختياركم الأوّل، سيفتح مونتي جميع الأبواب الّتي لا توجد سيّارة خلفها، باستثناء الباب الّذي اخترتموه وباب آخر. كانت ولا تزال فرصة أن يكون الباب الّذي اخترتموه في البداية هو باب الجائزة واحدًا من مئة. يجب أن تكمل فرصة أن يكون الباب الثاني هو باب الجائزة الاحتمال إلى 1، لذا فهي تقف عند 99/100. يبدو هذا مفاجئًا، إلى أن ندرك وجود فجوة كبيرة بين مونتي هول والمتسابقين في برنامج المسابقات. أنتم، كونكم المتسابقين، اتّخذتم قراركم الأوّل عشوائيًّا، بينما يستند تصرّف مونتي إلى المعرفة- فهو يعلم على وجه اليقين أنّه خلف الأبواب الـ 98 الّتي فتحها كان هناك قطيع كبير من الماعز. ينطبق المبدأ نفسه أيضًا في لعبة الأبواب الثلاثة، ولكن من الصعب جدًّا ملاحظته.

الطريقة الرابعة، والّتي تبدو الأقلّ إقناعًا، هي التجميع، أي تجميع الخيارات المتشابهة معًا. لنفترض وجود خيارين في اللعبة: كلّ ما اخترتموه، وكلّ ما لم تختاروه. ستوافقون على الأرجح على أنّ الباب الّذي اخترتموه في البداية لديه احتمال الثلث ليكون باب الجائزة. أمّا البابان الآخران معًا، فيمثّلان احتمال الثلثَين للفوز. عندما يكشف مونتي عن الماعز، فإنّه يخبركم ببساطة بمكان السيّارة غير الموجودة في مجموعة “الأبواب الأخرى”. لذا، لا يزال هناك احتمال الثلثَين أن تكون السيّارة في مجموعة “الأبواب الأخرى”، ولكن لم يتبقَّ سوى باب واحد ليُفتح.

لغز مونتي هول ليس أصعب التحدّيات في الرياضيّات أو الاحتمالات، ولكنّه يكشف عن أنماط فكريّة وحدسيّة لا تتوافق دائمًا مع الواقع. ولمن يفهم الحلّ بشكل صحيح، فإنّه يُمثّل تحدّيًا تعليميًّا- كيفيّة شرح الحلّ للآخرين.